DR. SC. SONJA ŽUNAR

Primjena integralnih kriterija neponištavanja za Poincaréove redove na teoriju modularnih formi

Djelovanje Mobiusovih transformacija na gornju kompleksnu poluravninu

Jedno je od najplodnijih područja istraživanja u modernoj analitičkoj teoriji brojeva teorija modularnih formi – kompleksnih analitičkih funkcija na gornjoj kompleksnoj poluravnini koje se pravilno transformiraju pod tzv. Möbiusovim transformacijama i zadovoljavaju neke dodatne uvjete. Ne samo da su iznenađujuća svojstva modularnih formi izvor dokaza brojnih netrivijalnih identiteta u teoriji brojeva, već modularne forme primjene nalaze i u algebarskoj geometriji i matematičkoj fizici te su u jakoj vezi s teorijom eliptičkih krivulja. Jedan je od najpoznatijih rezultata o toj vezi Teorem modularnosti, u potpunosti dokazan tek 2001. godine, prema kojem je svaka racionalna eliptička krivulja zapravo “zamaskirana” modularna forma. Kao primjer aktualnosti i snage teorije modularnih formi, spomenimo da je naizgled neuhvatljiv dokaz slavnog Posljednjeg Fermatova teorema, koji su matematičari diljem svijeta tražili od 1637. godine, dobiven tek nakon 358 godina potrage baš kao posljedica (posebnog slučaja) Teorema modularnosti.

Koliko su modularne forme korisne, toliko su i komplicirane: svi su zanimljivi primjeri takvih funkcija dani formulama u obliku redova ili beskonačnih produkata i, posebno za ove prve, naizgled jednostavno pitanje je li konkretna (kuspidalna) modularna forma identički jednaka nuli često je vrlo netrivijalno. U ovom se istraživanju tom pitanju pristupilo pomoću integralnih kriterija neponištavanja za Poincaréove redove. Radi se o metodi koju je otkrio Goran Muić 2009. godine. Osim ojačanja postojećih integralnih kriterija neponištavanja i njihove primjene na neke poznate familije kuspidalnih modularnih formi polucijele težine, u istraživanju su konstruirani i novi primjeri takvih modularnih formi i dokazani zanimljivi rezultati o matričnim koeficijentima s njima povezanih reprezentacija metaplektičke grupe.

Mentor: akademik Goran Muić (Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet)

Natječajni rok: DOK-2014-06

Sonja Žunar rođena je 20. veljače 1991. u Varaždinu. Završila je preddiplomski studij Matematika (2009. – 2012.), diplomski studij Teorijska matematika (2012. – 2014.) i doktorski studij Matematika (2014. – 2018.) na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu. Od 2015. do 2019. godine radila je na istom fakultetu kao asistentica na projektu „Automorfne forme, reprezentacije i primjene” Hrvatske zaklade za znanost (br. 9364), a od 2019. godine radi kao poslijedoktorandica na projektu „Unitarne reprezentacije, automorfne i modularne forme” (br. 3628). Autorica je triju objavljenih znanstvenih radova i jednog rada koji je u procesu recenzije.